[Лекция][№6][2020.10.09]

Нормальное распределение. Функция нормального распределения.

Функция нормального распределения.

Нормальное распределение, распределение Гаусса – предельный закон распределения событий и явлений, являющихся результатом действия множества детерминированных факторов (физических причин, случайно сочетающихся), каждый из которых по интенсивности не выделяется на фоне других.

 

Нормальное распределение (normal distribution) – играет важную роль в анализе данных. Иногда вместо термина нормальное распределение употребляют термин гауссовское распределение в честь К. Гаусса (более старые термины, практически не употребляемые в настоящее время: закон Гаусса, Гаусса-Лапласа распределение). В большинстве случаев закон распределения результатов химического анализа можно удовлетворительно аппроксимировать так называемой функцией нормального (или гауссова) распределения

 

Параметр μ этой функции характеризует положение максимума кривой, т.е. собственно значение результата анализа, а параметр σ - ширину "колокола", т.е. воспроизводимость результатов. Так σ – это генеральное стандартное отклонение вероятностной переменной. Можно показать, что среднее x̄ является приближенным значением μ, а стандартное отклонение s(x) - приближенным значением σ. Естественно, эти приближения тем точнее, чем больше объем экспериментальных данных, из которых они рассчитаны, т.е. чем больше число параллельных измерений n и, соответственно, число степеней свободы f.

Вид колоколообразной кривой, симметричной относительно вертикальной линии, проходящей через μ, зависит от величины дисперсии и, следовательно, от отклонения. Значение параметра σ определяет степень «размытости» кривой. Чем больше стандартное отклонение (σ1 > σ2 > σ3), тем более пологой становится линия.

 

Доверительный интервал.

Доверительный интервал - статистическая оценка параметра исследуемого вероятностного распределения, имеющая вид интервала, границами которого служат функции от результатов наблюдений и доверительной вероятности, который с вероятностью Р "накрывает" неизвестное значение параметра. Так как математическое ожидание вычислить невозможно, его возможно только оценить, то при нахождении оценки математического ожидания, следует указывать доверительный интервал с соответствующей доверительной вероятностью. Доверительная вероятность Р - вероятность достоверности принимаемой гипотезы, характеристика надёжности, полученной по выборке оценки того или иного параметра. Сопутствующим параметром доверительной вероятности Р является уровень значимости  - вероятность допущения ошибок, т.е. .

 Чем выше гарантия надёжности оценки, тем больше величина интервала, в котором может находится генеральный параметр. В исследованиях прикладного характера доверительная вероятность обычно принимается Р=0,95. Соответственно, уровень значимости в случае нормально распределённой случайной величины это соответствует вероятности попадания случайной величины в интервал (правило двух сигма).

По аналогии с вероятностью 0,997 – правило трех сигма можно записать .

Правилу одного сигма соответствует доверительная вероятность 0,683. Интервал соответствующий правилу одного сигма ещё называют приблизительным интервалом, в котором с той или иной вероятностью (но не выше 0,683) может находиться математическое ожидание.